La peor adquisición de la historia, de nuevo

Analicemos esto paso a paso.

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## 1. Comprender el problema

Se nos pide encontrar el área bajo la curva \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \) entre las líneas verticales \( x = \sqrt{3} \) y \( x = \sqrt{8} \), y por encima del eje \( x \).

Entonces el área \( A \) viene dada por la integral definida:

\[

A = \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx

\]

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## 2. Sustitución

Sea \(u = x^2 + 1 \). Entonces \( du = 2x \, dx \), entonces \( x \, dx = \frac{du}{2} \).

Cuando \( x = \sqrt{3} \):

\[

tu = (\sqrt{3})^2 + 1 = 3 + 1 = 4

\]

Cuando \( x = \sqrt{8} \):

\[

tu = (\sqrt{8})^2 + 1 = 8 + 1 = 9

\]

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## 3. Cambiar la integral

\[

\int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx

= \int_{x=\sqrt{3}}^{x=\sqrt{8}} \frac{1}{x^2 + 1} \cdot x \, dx

= \int_{u=4}^{u=9} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2}

\]

\[

= \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{1}{u} \, du

\]

---

## 4. Evaluar

\[

\frac{1}{2} \left[ \ln|u| \derecha]_{4}^{9}

= \frac{1}{2} \left( \ln 9 - \ln 4 \derecha)

\]

\[

= \frac{1}{2} \ln\izquierda( \frac{9}{4} \derecha)

\]

\[

= \frac{1}{2} \ln\izquierda( \frac{3^2}{2^2} \derecha)

= \frac{1}{2} \ln\left( \left( \frac{3}{2} \right)^2 \right)

\]

\[

= \frac{1}{2} \cdot 2 \ln\left( \frac{3}{2} \right)

= \ln\izquierda( \frac{3}{2} \derecha)

\]

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## 5. Respuesta final

\[

\boxed{\ln\left( \frac{3}{2} \right)}

\]

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