La peggiore acquisizione della storia, ancora una volta

Analizziamolo passo dopo passo.

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## 1. Comprendere il problema

Ci viene chiesto di trovare l'area sotto la curva \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \) tra le linee verticali \( x = \sqrt{3} \) e \( x = \sqrt{8} \), e sopra l'asse \( x \).

Quindi l'area \( A \) è data dall'integrale definito:

\[

A = \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx

\]

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## 2. Sostituzione

Sia \( u = x^2 + 1 \). Allora \( du = 2x \, dx \), quindi \( x \, dx = \frac{du}{2} \).

Quando \( x = \sqrt{3} \):

\[

u = (\sqrt{3})^2 + 1 = 3 + 1 = 4

\]

Quando \( x = \sqrt{8} \):

\[

u = (\sqrt{8})^2 + 1 = 8 + 1 = 9

\]

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## 3. Cambia l'integrale

\[

\int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx

= \int_{x=\sqrt{3}}^{x=\sqrt{8}} \frac{1}{x^2 + 1} \cdot x \, dx

= \int_{u=4}^{u=9} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2}

\]

\[

= \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{1}{u} \, du

\]

---

## 4. Valuta

\[

\frac{1}{2} \sinistra[ \ln|u| \right]_{4}^{9}

= \frac{1}{2} \sinistra( \ln 9 - \ln 4 \destra)

\]

\[

= \frac{1}{2} \ln\sinistra( \frac{9}{4} \destra)

\]

\[

= \frac{1}{2} \ln\sinistra( \frac{3^2}{2^2} \destra)

= \frac{1}{2} \ln\left( \left( \frac{3}{2} \right)^2 \right)

\]

\[

= \frac{1}{2} \cdot 2 \ln\left( \frac{3}{2} \right)

= \ln\sinistra( \frac{3}{2} \destra)

\]

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## 5. Risposta finale

\[

\boxed{\ln\left( \frac{3}{2} \right)}

\]

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